Аналитические способы решения систем уравнений с двумя переменными.

Тип продукта научной работы: 
Реферат полная версия
Дата создания продукта: 
30 Apr 2009
Описание версии подукта: 
Аналитические способы решения систем уравнений с двумя переменными.
Описание продукта: 

Московская городская педагогическая
гимназия-лаборатория №1505

Аналитические способы решения систем уравнений с двумя переменными.

Реферат по
математике ученика 9«б»
класса МГПГ-Л №1505
Чехова Ивана.

Научный руководитель:
Шалимова М.Н.

Москва, 2009
Рецензия на реферат ученика 9 «Б» класса Чехова Ивана «Аналитические способы решения систем уравнений с двумя переменными».

Реферат Чехова Ивана состоит из двух частей: введение и основная часть.
В первой части Иван рассмотрел актуальность темы, сформулировал цель исследования и задачи.
Во второй части сформулированы основные теоретические вопросы: понятие системы, правила преобразования системы уравнений. Рассмотрены основные методы решения систем уравнений: метод подстановки, метод решения однородных систем и симметричных систем. Рассмотрена система уравнений содержащих модуль, но не приведён пример решения такой системы.
Рекомендую добавить примеры для самостоятельного решения:
1) систему однородных уравнений:
(х+у)(х-у)=9
(х-у)(х+у)=5
2) систему симметрических уравнений
х+у+ху+ух=8
х+у+ху+ух=15
3) систему уравнений, содержащую модули
5-3х=2у+1
3х-8=3у-2
4) включить примеры для самостоятельной работы
Баталова В.И.

Оглавление.
1) Введение_______________________________________________________________2 2) Основная часть__________________________________________________________3
3) Понятие решения системы, равносильности_________________________________3
4) Правила работы с системами______________________________________________3
5) Типы систем уравнений с двумя переменными_______________________________4
6) Системы линейных уравнений и системы, сводящиеся к ним___________________4
7) Нелинейные системы уравнений___________________________________________4
8) Заключение_____________________________________________________________8
9) Список использованной литературы________________________________________9
10) Приложения (предварительное тестирование)______________________________10

Введение
Актуальность. Тему курса математики VII-XI классов «системы уравнений» можно назвать значительной, т.к. к решению уравнений сводятся текстовые задачи, с которыми учащиеся встречаются в курсе математике, а также физические задачи. Знания по этой теме являются базовыми при изучении такой темы, как «текстовые задачи» по математике и др.
Учащиеся несколько раз сталкиваются с изучением систем уравнений: в VII классе с линейными системами, а затем каждый год ученики возвращаются к этой теме на более высоком уровне. Но в школьном курсе системы уравнений рассматриваются не достаточно глубоко. А на вступительных экзаменах в ВУЗы часто встречаются задачи, связанные с системами уравнений. И эти задачи вызывают затруднение у поступающего. Чтобы избежать этих затруднений следует лучше изучить данную тему: «Аналитические способы решения систем уравнений с двумя переменными».
Цель исследования – изучение решения систем уравнений с двумя переменными разными способами.
Задачи:
1) Изучение теоретических понятий, связанных с темой реферата: уравнения с двумя переменными; система уравнений с двумя переменными; решение систем уравнений с двумя переменными.
2) Изучение специальных приёмов для решения нелинейных систем уравнений(симметрические и однородные).

Основная часть.
Понятие решения системы.
Решением системы называется упорядоченный набор чисел, при подстановке которых, каждое уравнение системы обращается в верное числовое неравенство. Решить систему - значит найти все её решения или убедиться, что их нет.
Равносильность
Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Т.е. например, любые две системы, не имеющие решений, равносильны. Из определения равносильности следует так же, что если в системе уравнений заменить любое уравнение равносильным ему уравнением, то получим систему, равносильную исходной. При решении систем применяются различные методы. Суть решения состоит в том, чтобы, применяя эти методы, заменить исходную систему равносильной её более простой, а затем решить эту простую систему.
Правила работы с системами
Решая системы уравнений, обычно заменяют данную систему другой, равносильной исходной, которую решать проще. При этом можно использовать следующие утверждения о равносильности систем уравнений:
1) если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, то получим систему, равносильную исходной;
2) Если одно из уравнений системы заменить суммой каких-либо двух уравнений данной системы, то получим систему, равносильную исходной;
3) Если одно из уравнений системы выражает зависимость какой-либо переменной, например х, через другие переменные, то, заменив в каждом уравнении системы переменную х на её выражение через другие переменные, получим систему, равносильную исходной; например, системы уравнений

х2=у-1 х=у2 -1
х2+у2=4 и (у2 -1)2+у2=4 равносильны.
Существуют 2 способа решения систем уравнений: графический и аналитический. Основными средствами аналитического решения системы являются метод подстановки и метод введения новых переменных.
Типы систем уравнений с двумя переменными:
I Системы линейных уравнений и системы, сводящиеся к ним.
Пример:
10/(х-у)-2/(х+у)=1 1/(х+у)=а 1/(х-у)=в
4/(х+у)-15/(х-у)=-1
10в-2а=1 *2 20в-4а=2 5в=1 в=1/5
4а-15в=-1 4а-15в=-1
10в-2а=1 2а=1 а=1/2
в=1/5 в=1/5 в=1/5
1/(х+у)=1/2 1/(х-у)=1/5
х+у=2 х-у=5
х-у=5 3,5=у
2х=7 х=3,5 у=-1,5
Ответ: (3,5;-1,5)
II Нелинейные системы уравнений.
1)Метод подстановки и алгебраического сложения.
Метод подстановки:
Пример:
ху=10 х=1+2у
х-2у=1 у+2у=10
2у+у-10=0 у=2 у=2
D=1+81=81 х=1+2у х=5
у=-5/2;2 у=-5/2 у=-5/2
х=1+2у х=-4 Ответ: (-4;-2,5) и (5;2).
Метод алгебраического сложения:
Пример:
3х+5у=13 х=1 х=1 х=1
3х-5у=-7 3х+5у=13 5у=10 у=2
6х=6
х=1 Ответ:(1;2).
2)Метод почленного умножения и деления уравнений системы:
Пример:
х5у7=32 у2/х2=1/4 х=2у х=-2у
х7у5=128 х2=4у2 х=+-2у 32у12=32 -32у12=32
у12=1 у12=-1
у=1 у=-1
х=2 х=-2
Ответ: (2;1) и (-2;-1).
3) Замена переменной. Симметрические системы.
Функция f(x;y), называется симметрической , если для всех x и y выполнено равенство
f(x;y)= f(y;x)
пример:
(х+у)2-5(х+у)+4=0 х+у=а х-у=в
(х-у)2-(х-у)-2=0
а2-5а+4=0 в2-в-2=0
а=4 а=1 в=2 в=-1
х+у=4 х=3
х-у=2 у=1
х+у=4 х=1,5
х-у=-1 у=2,5
х+у=1 х=1,5
х-у=2 у=-0,5
х+у=1 х=0
х-у=-1 у=1 Ответ: (3;1);(1,5;2,5);(1,5;-0,5);(0;1).
4) Систем однородных уравнений и приводящиеся к ним системы.
Пример:
х2+23ху+2у2=3 *5 -5х2-15ху-10у2=-15
5х2-2ху-у2=5 *3 15х2-6ху-3у2=15
10х2-21ху-13у2=0
х=-1/2у
х=13/5у
х2+3ху+2у2=3
у=5/13
Ответ: (1;-2);(-1;2);(13/138;5/138);(-13/138;-5/138).

Заключение.
Согласно поставленным задачам, я, Чехов Иван углублённо изучил тему: аналитические способы решения систем уравнений с двумя переменными. По ходу обучения в девятом классе я не раз убедился, что данная тема важна для учеников как девятых классов, так и более старших учеников. Также я убедился, что с системами уравнений ученики сталкиваются не только на алгебре и геометрии, но и на других предметах, такие как физика и информатика. Изучение данной темы поможет мне в последующем изучении курса математики.

Список использованной литературы:
1. Теляковский С.А. учебник по алгебре за 9 класс
2. Корянов А. Неравенства с двумя переменными: графическое и аналитическое решения.
3. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов.

Приложения.
Предварительное тестирование.
I вариант
1. ху=10
х-2у=1
Ответ: (-4;-2,5);(5;2)
2. 3х+5у=13
3х-5у=-7
Ответ: (1;2).
3. 6х+5у=-1
7х-3у=-10
Ответ: (-1;-1).
II вариант.
1 х+у=25
у-х=5
Ответ: (4;3);(4;-3);(-5;0)
2. х+ху+у=17
ху+х+у=5
Ответ:(1;2);(2;1)
3. х+у ху=420
у+х ху=280
Ответ: (18;8)

III вариант.
1. х+4у=18
х+у=20
Ответ: (2/17;76/17);(2;-4)

2. х+у=3
х+у=33
Ответ: (1;2);(2;1)
3. 3х-3ху+у=3
х+2ху-2у=6
Ответ:(2;1);(-2;-1).

feedback
Loading