Примеры

## Возможности программы в десяти примерах

Приведенные в данном разделе десять примеров, позволят составить представление о разнообразных возможностях программы в работе с учащимися разных возрастов, уровней математической подготовки и интереса к геометрии.

### Комментарии к чертежам

Первые два чертежа посвящены треугольникам.Из этой необъятной темы выбраны два факта: один общеизвестный (легкий) и один малоизвестный (трудный и глубокий).

Чертеж 01
Предлагается исследовать виды треугольников с фиксированным основанием (точнее, изменение вида треугольника). Двигая по экрану единственную вершину, учащемуся предлагается понять, “где” треугольник превращается из остроугольного в тупоугольный. Представляется полезным поработать с этим чертежом до прохождения темы. Следует поупражняться в точных формулировках и осознать тривиальность проблемы “отупления” угла при основании; “отупление” угла, противолежащего основанию, неочевидно, и учащемуся (любого математического уровня!) предлагается с помощью чертежа самостоятельно обнаружить, где оно происходит. Чертеж содержит геометрическую подсказку, которая одновременно позволяет убедиться в верности предположения. Чертеж 02
Посвящен теореме Понселе - классическому факту о вписанных и описанных окружностях, связывающему элементарную геометрию с “взрослой” математикой. Формулировка теоремы очевидна из чертежа (но на всякий случай приведена и вызывается соответствующей кнопкой); кроме того, чертеж иллюстрирует динамические возможности программы, делающие теорему несомненной в качестве экспериментального факта геометрии. О доказательстве речи не идет - известные доказательства теоремы Понселе (“школьной” по своему содержанию) существенно используют “внешкольную” математику. Однако работа с чертежом, несомненно, может стимулировать учащегося к изучению разделов алгебраической геометрии, нужных для серьезного понимания теоремы.

Следующие четыре чертежа посвящены законам сохранения в планиметрии.
Само это понятие нетрадиционно и не вполне естественно при “статическом” восприятии и преподавании геометрии. Однако при переходе к динамической геометрии соответствующая интерпретация многих известных теорем бросается в глаза; автоматически возникающие физические аналогии правильны и заслуживают дальнейшего продумывания.

В чертеже 03
Объясняется теорема Чевы. Приводимая формулировка нацелена на как можно более простое понимание ее как непосредственно наблюдаемого явления. Следует подчеркнуть дидактическую фундаментальность этой теоремы: условие прохождения трех прямых через одну точку, равносильное обращению в ноль соответствующего определителя третьего порядка, в среде ЖМ интерпретируется как количественное соотношение, связывающее абсолютно понятные школьнику длины.

Чертежы 04 и 05
Предлагается с тех же позиций осознать хорошо известные факты из школьной программы: равенство вписанных в окружность углов, опирающихся на фиксированную дугу, и равенство произведений отрезков хорд, проходящих через фиксированную точку.

Чертеж 06
Предлагается поработать с менее известной величиной из арсенала школьной геометрии: с суммой расстояний от переменной точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон. Здесь предполагается некоторая самостоятельность учащегося; двигать точку он должен сам (в отличие от предыдущих чертежей, где для включения движения достаточно нажать кнопки). Сам же он должен делать выводы и производить контрольные измерения; при необходимости он может получить соответствующие указания, нажав кнопку.

### Последние четыре чертежа не связаны между собой никакой общей идеей.

Чертеж 07
Позволяет познакомиться с плоскостью Лобачевского и посмотреть на прямую Лобачевского, проходящую через две произвольные точки.

Чертеж 08
Представляет собой “экспериментальную установку” для решения популярной вариационной задачи “Где построить мост?”. Сначала можно, двигая мост поперек реки, определить, при каком его положении дорога, соединяющая два разделенные рекой города, будет наикратчайшей. Затем некоторые учащиеся могут (при желании воспользовавшись подсказкой, спрятанной под кнопкой) обосновать решение. Любое предположение можно проверить - например, меняя ширину реки.

Чертеж 09 (“семейная зарядка”)
Это - шуточный чертеж. На нем проиллюстрированы возможности ЖМ в работе с подобием и зеркальной симметрией. Если подвигать большинство объектов чертежа, то начнут двигаться шарнирные механизмы, что воспринимается как зарядка перед зеркалом семьи животных. С помощью оставшихся объектов можно менять внешний вид животных.

Чертеж 10
Возвращает нас к серьезной математике - на нем проиллюстрирована теорема Паскаля о вписанных шестиугольниках. Здесь осмысление теоремы (как и освоение ее динамического содержания) целиком предоставляется учащемуся.

На главную страницу